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Fundamentos de Conjuntos
Fundamentos de Conjuntos
1. Teoria dos Conjuntos
Definição de Conjunto
Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos, chamados elementos ou membros do conjunto.
Notação: A = {1, 2, 3, 4}
Lê-se: A é o conjunto formado pelos elementos 1, 2, 3 e 4.
Formas de Representação
- •Por extensão: Listar todos os elementos
A = {a, e, i, o, u}
- •Por compreensão: Descrever uma propriedade
B = {x | x é vogal do alfabeto}
- •Diagrama de Venn: Representação visual
Relação de Pertinência
x ∈ A → x pertence a A
x ∉ A → x não pertence a A
Conjuntos Especiais
- Conjunto vazio: ∅ ou {}
- Conjunto universo: U (contém todos os elementos do contexto)
- Conjunto unitário: possui apenas um elemento
2. Operações com Conjuntos
União (A ∪ B)
Elementos que pertencem a A ou B (ou ambos)
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Interseção (A ∩ B)
Elementos que pertencem a A e B simultaneamente
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Diferença (A - B)
Elementos que pertencem a A mas não a B
A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Complemento (Aᶜ)
Elementos do universo que não estão em A
Aᶜ = U - A = {x | x ∈ U e x ∉ A}
3. Propriedades das Operações
Propriedades Fundamentais
Comutativa
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Associativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Leis de De Morgan
(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
4. Produto Cartesiano
Definição
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) onde a ∈ A e b ∈ B.
A × B = {(a,b) | a ∈ A e b ∈ B}
Exemplo:
A = {1, 2}, B = {a, b}
A × B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)}